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2022年成考专升本《高等数学》考点笔记(一)

来源:本站  时间:2022-05-27

  考点1罗尔(Rolle)定理

  如果函数y=f(x)满足条件:

  (1)在闭区间[a,b]上连续;

  (2)在开区间(a,b)内可导;

  (3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点,使得f'(ξ)=0.

  考点2拉格朗日(Lagrange)中值定理

  如果函数y=f(x)满足条件:

  (1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得

  f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).

  推论1若函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且导数f'(x)恒为零,则在(a,b)内f(x)=C(常数).

  推论2若在(a,b)内恒有f'(x)=g'(x),则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+C,其中C为某个常数.

  考点1函数单调性的判定

  设y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

  1.若对于任意的x∈(a,b),有f'(x)>0,则y=f(x)在[a,b]上为单调增加的函数.

  2.若对于任意的x∈(a,b),有f'(x)<0,则y=f(x)在[a,b]上为单调减少的函数.

  考点2函数取得极值的必要条件和充分条件

  1.必要条件

  设函数y=f(x)在点x₀处可导,且在点x₀处取得极值,则在点x₀处必有f'(x₀)=0或f'(x₀)不存在,即x₀必为函数f(x)的驻点或不可导点.

  反之不成立,即函数f(x)的驻点或不可导点并不一定就是极值点.

  2.第一种充分条件

  设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内可导,且f'(x₀)=0(或在点x₀处f'(x)不存

  在).若在此邻域内:

  (1)当x0,而当x>x₀时,f'(x)<0,则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀);

  (2)当x0,则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀);

  若当xx₀时,f'(x)不改变符号,则f(x)在点x₀处不取得极值.

  3.第二种充分条件

  设函数y=f(x)在点x₀处具有二阶可导,且f'(x₀)=0,f''(x₀)≠0.若

  (1)f”(x₀)<0,则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀).

  (2)f”(x₀)>0,则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀).

  (3)f”(x₀)=0,则函数f(x)在点x₀处可能取得极值,也可能不取得极值,这时需要用第一种充分条件判定.

  考点3最大值与最小值的求法

  闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)必定存在最大值与最小值.

  求最大值与最小值的一般方法是:

  1.求出f(x)在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点.

  2.求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b处的函数值.

  3.进行比较,其中最大的数值即为f(x)在[a,b]上的最大值,而其中最小的数值即为

  f(x)在[a,b]上的最小值.

  考点4曲线凹凸性的判定

  设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.

  1.若在(a,b)内有f”(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的.

  2.若在(a,b)内有f”(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内为凸的.

  考点5曲线拐点的判定

  对于在(a,b)内的连续曲线弧y=f(x),判定拐点的一般方法是:

  1.求出该函数的二阶导数,并求出使二阶导数等于零的点,以及二阶导数不存在的点.

  2.判定上述各点两侧,函数的二阶导数是否异号,如果f''(x)在x₀的两侧异号,则(x₀,f(x₀))为曲线弧y=f(x)的拐点.

  考点1不定积分的性质

  1.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k为不等于0的常数).

  2.∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dr±∫g(x)dx.

  3.(∫f(x)dx)'=f(x)或d(∫f(x)dx)=f(x)dx.

  4.∫f'(x)dx=f(x)+C或∫df(x)=f(x)+C.

  考点2不定积分基本公式

  1.∫0dr=C.

  2.∫xᵃdr=(1/a+1)xᵃ⁺¹+C(a≠-1)

  3.∫(1/x)dx=ln|x|+C.

  4.∫aˣdx-(1/lna)aˣ+C,特别地∫eˣdx=eˣ+C.

  5.∫sinxdx=-cosx+C.

  6.∫cosxdx=sinx+C.

  7.∫(1/cos²x)dx=tanx+C.

  8.∫(1/sin²x)dx=-cotx+C.

  10.∫(1/(1+x²))dx=arcsinx+C.

  12.∫(1/(a²+x²))dx=(1/a)arctan(x/a)+C(a>0).

  13.∫tanxdx=-ln|cosx|+C.

  14.∫cotxdx=ln|sinx|+C.

  15.∫(1/sinx)dx=ln|(1/sinx)-cotx|+C.

  16.∫(1/cosx)dx=ln|(1/cosx)+tanx|+C.

  18.∫(1/(x²-a²))dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C(a>0).


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